Список выпусков > Серия «Математика». 2017. Том 19
Алгоритм квазиравномерного заполнения множества достижимости нелинейной управляемой системы
В работе предлагается алгоритм поиска внутренней оценки множества достижимости нелинейной управляемой динамической системы, которая получается в виде набора точек квазиравномерно (с некоторой точностью) заполняющих множество уже при небольшом числе элементов. Предлагаемый алгоритм основан на многократном решении вспомогательных задач оптимизации для пополнения набора точек аппроксимирующего множества. Минимизируемая функция, характеризующая равномерность заполнения, зависит от расстояния между элементами аппроксимации в евклидовом пространстве и строится так, чтобы быть равной или близкой к нулю, если расстояние больше желаемого порогового значения. Таким образом заранее определена нижняя оценка оптимального значения функционала, что позволяет существенно экономить вычислительное время на случайной составляющей применяемых алгоритмов глобальной оптимизации. В основу используемого алгоритма нелокальной оптимизации положена «туннельная идеология», предполагающая наличие в конструкции, помимо механизмов локального спуска, также механизмов перехода из локального экстремума с текущим рекордным значением функционала в области притяжения экстремумов с меньшим значением. В качестве глобализующего механизма использован нелокальный поиск по случайным направлениям, повторяемый многократно на каждой итерации алгоритма. Для повышения надежности предложенного метода в конструкции алгоритмов предусмотрен также периодический случайный мультистарт. Статья включает в себя построение аппроксимации множеств достижимости тестовых примеров и иллюстрацию результатов вычислительных экспериментов в сравнении с расчетами, полученными методом, основанным на принципе максимума Понтрягина [7]. Конструкция предложенного метода позволяет, помимо двумерных систем, рассматривать также и множества достижимости многомерных систем. Проведенные эксперименты показали работоспособность подхода, а сравнение результатов подтвердило адекватность получаемых аппроксимаций.
1. Каменев Г.К. Аппроксимация вполне ограниченных множеств методом глубоких ям / Г. К. Каменев // Журн. вычисл. математики и мат. физики. – 2001. – Т. 41, N 11. – C. 1751–1760.
2. Лотов А. В. Численный метод построения множеств достижимости для линейных управляемых систем с фазовыми ограничениями / А. В. Лотов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. – 1975. – Т. 15, N 1. – С. 67–78.
3. Панасюк А. И. Дифференциальное уравнение невыпуклых множеств достижимости / А. И. Панасюк // Мат. заметки. – 1985. – Т. 37, № 5. – С. 717–726.
4. Толстоногов А.А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве / А.А. Толстоногов. – Новосибирск : Наука, 1986.
5. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем / Ф.Л. Черноусько. – М. : Наука, 1988.
6. Baier R. Approximation of reachable sets using optimal control algorithms / R. Baier, M. Gerdts, I. Xausa // Numer. Algebra Control Optim. – 2013. – Vol. 3, N 3. – P. 519–548.
7. The Method of Uniform Monotonous Approximation of the Reachable Set Border for a Controllable System / A.Yu. Gornov, T. S. Zarodnyuk, E. A. Finkelshtein, A. S. Anikin // J. Glob. Optim. – 2016. – Vol. 66, N 1. – P. 53–64.