Список выпусков > Серия «Математика». 2017. Том 19
Дискретные неоднородные системы и достаточные условия оптимальности
Предмет активного изучения в последние 15–20 лет — системы с неоднородной структурой широко распространены на практике. Примерами служат процессы химического производства, сложные космические операции, динамика роботов, развитие организмов и биологических популяций.
Значительная часть их исследований связана с задачами оптимизации управлений, когда методы оптимального управления для систем однородной структуры, ставшие уже классическими (принцип максимума Понтрягина, метод Беллмана), непосредственно неприменимы. Для такого класса задач оптимизации с одной стороны требуется математическая модель, учитывающая специфику объекта, а с другой — математический аппарат, позволяющий находить решение поставленной задачи. Естественно, что многие исследователи направили свои усилия на модификацию и доработку принципа максимума Понтрягина для этого класса задач, дополняя известный результат специальными условиями в моменты изменения описания системы (например, так называемые условия скачка). Другой подход использует векторфункции Ляпунова. Ряд авторов применяет комбинированный подход, когда для описания и управления используются как непрерывные, так и дискретные или логические составляющие. Также представители ряда школ активно используют в своих исследованиях аппарат теории мер, обобщенных функций и метод разрывной замены времени.
В работе продолжено развитие альтернативного подхода, позволяющего остаться в рамках традиционных предположений теории оптимального управления. Основой для этого служат достаточные условия оптимальности В.Ф. Кротова для дискретных систем, сформулированные в терминах произвольных множеств и отображений. Эта формулировка позволяет рассматривать множества и операторы с изменяющейся структурой при переходе от одного шага к другому, а управление на каждом шаге можно трактовать как комбинацию некоторой абстрактной переменной и некоторого непрерывного или дискретного процесса.
Рассматривается класс дискретных неоднородных систем, широко распространенных на практике (экономика, экология). Подобные системы также возникают в процессе численного решения задач оптимизации при дискретизации непрерывных управляемых систем. Для указанного класса приводится аналог достаточных усло вий оптимальности Кротова. Они же формулируются в форме Беллмана. Дается их конкретизация для частных случаев: линейных и линейно-квадратических по состоянию систем.
1. Бортаковский А. С. Достаточные условия оптимальности управления детерминированными логико-динамическими системами / А. С. Бортаковский // Информатика. Сер. Автоматизация проектирования. — 1992. — №2-3. — С. 72–79.
2. Васильев С. Н. Теория и применение логико-управляемых систем. Труды. 2-я Международная конференция «Идентификация систем и задачи управления» (SICPRO’03). — Москва, 2003. – С. 23–52.
3. Расина И. В. Иерархические модели управления системами неоднородной структуры / И. В. Расина. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2014. — 160 с.
4. Фесько О. В. Оптимизация динамических систем на множестве кусочно-постоянных управлений. Наукоемкие информационные технологии: тр.молодежной науч.-практ. конф. — Переславль-Залесский, 2009. – С. 206–217.
5. Emel’yanov S. V. Theory of Systems with Variable Structures / S. V. Emel’yanov. — Moscow: Nauka, 1970. — 592 p.
6. Gurman V.I. Theory of Optimum Discrete Processes / V.I. Gurman // Automation and Remote Control. – 1973. – Vol. 34, N 7, Part 1. – P. 1082–1087.
7. Gurman V.I., Rasina I.V. Discrete-Continuous Representations of Impulsive Processes in the Controllable Systems / V.I. Gurman, I.V. Rasina // Automation and Remote Control. – 2012. – Vol. 73, N 8. – P. 1290–1300.
8. Krotov V. F. Sufficient Optimality Conditions for Discrete Controllable Systems / V. F. Krotov // Dokl. Akad. Nauk SSSR. – 1967. – Vol. 172, N 1. – P. 18–21.
9. Krotov V.F., Gurman V.I. Methods and Problems of Optimal Control / V.F. Krotov, V.I. Gurman. — Moscow: Nauka, 1973. — 448 p.
10. Lygeros J. Lecture Notes on Hybrid Systems / J. Lygeros. — Cambridge: University of Cambridge, 2003. — 70 p.
11. Miller B.M., Rubinovich E.Ya. Optimization of the Dynamic Systems with Pulse Controls / B.M. Miller, E.Ya. Rubinovich. — Moscow: Nauka, 2005.
12. Rasina I.V. Discretization of Continuous Controllable Systems Based on Generalized Solutions / I.V. Rasina // Automation and Remote Control. – 2011. – Vol. 72, N 6. – P. 1301–1308.