Список выпусков > Серия «Математика». 2017. Том 19
Динамические системы с разрывными решениями и задачи с неограниченными производными
В работе по управлению системами с неограниченными производными В. И. Гурман предложил описание разрывных решений с помощью некоторой вспомогательной системы дифференциальных уравнений, включающей рецессивные направления множества скоростей. Это оказалось удобным с точки зрения расширения множества решений для включения в него разрывных функций, однако, в последующих работах выяснилось, что такое описание разрывов не только дает их корректное представление, но и является в некотором роде единственно возможным с точки зрения существования решения соответствующих вариационных задач.
В данной работе представлено развитие этой методологии для вариационных задач, в которых скачки решений возникают естественным образом вследствие ударов о препятствия с большой жесткостью. Показано применение метода сингулярных пространственно-временных преобразований для задач удара с трением. В качестве примера рассмотрена система, в которой возникает парадокс Пенлеве, — модель косого удара в предположении, что закон взаимодействия с препятствием описывается вязко-упругой моделью типа Кельвина – Фойгта, а момент прекращения контакта с препятствием определяется как момент обращения в нуль реакции опоры.
1. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями / Дж. Варга. – М. : Наука, 1977.
2. Гурман В. И. Об оптимальных процессах с неограниченными производными / В. И. Гурман // Автоматика и телемехника. – 1972. – № 12. – C. 14–21.
3. Дыхта В. А. Оптимальное импульсное управление с приложениями / В. А. Дыхта, О. Н. Самсонюк. – М. : Физматлит, 2000.
4. Завалищин С. Т. Импульсные процессы: модели и приложения / С. Т. Завалищин, А. Н. Сесекин. – М. : Наука, 1991.
5. Миллер Б. М. Метод разрывной замены времени в задачах оптимального управления импульсными и дискретно-непрерывными системами / Б. М. Миллер // Автоматика и телемеханика. – 1993. – № 12. – С. 3–32.
6. Миллер Б. М. Управляемые системы с ударными воздействиями / Б. М. Миллер // Соврем. математика. Фундам. направления. – 2011. – Т. 42. – С. 166–178.
7. Миллер Б. М. Разрывные решения в задачах оптимального управления и их представление с помощью сингулярных пространственно-временных преобразований / Б. М. Миллер, Е. Я. Рубинович // Автоматика и телемеханика. – 2013. – № 12. – С. 56—103.
8. Миллер Б. М. Оптимизация динамических систем с импульсными управлениями / Б. М. Миллер, Е. Я. Рубинович. – М.: Наука, 2005, 429c.
9. Миллер Б. М. Сингулярная пространственно-временная замена координат. Об одном методе разрешения проблемы Пенлеве / Б.М.Миллер, Е. Я. Рубинович, Дж. Бентсман // Проблемы математического анализа. – 2016. – Вып. 86. – С. 35–44.
10. Пенлеве П. Лекции о трении / П. Пенлеве. – М. : ГиТТЛ, 1954.
11. Bentsman J. Dynamical systems with active singularities of elastic type: A modeling and controller synthesis framework / J. Bentsman, B. Miller // IEEE Trans. Autom. Control. – 2007. – Vol. 52, N 1. – P. 39–55.
12. G´enot F. New Results on Painlev´e Paradoxes / F. G´enot, B. Brogliato // Eur. J. Mech. A/Solids. – 1999. – Vol. 18, N 18. – P. 653–678.
13. Paoli L. Mouvement `a un nombre fini de degr´es de libert´e avec contraintes unilat´erales: cas avec perte d’´energie / L. Paoli, M. Schatzman // Mathematical Modelling and Numerical Analysis. – 1993. – Vol. 27. – P. 673–717.
14. Pfeifer F. Multi-Body Dynamics with Unilateral Constraints / F. Pfeifer, C. Glocker. – New-York : Wiley, 1996.
15. Schatzman M. Penalty approximation of Painlev´e problem / M. Schatzman // Nonsmooth mechanics and analysis. Adv. Mech. Math. – 2006. – Vol. 12. – P. 129–143.
16. Stewart D. E. Convergence of a Time-Stepping Scheme for Rigid-Body Dynamics and Resolution of Painleve’s Problem / D. E. Stewart // Arch. Rational Mech. Anal. – 1998. – Vol. 145. – P. 215–260.
17. Stewart D. E. Rigid-Body Dynamics with Friction and Impact / D. E. Stewart // SIAM Review. – 2000. – Vol. 42, N 1. – P. 3–39.
18. Stronge W. J. Rigid body collisions with friction / W. J. Stronge // Proc. Roy. Soc. London. – 1990. – Ser. A, Vol. 431. – P. 168–181.
19. Warga J. Variational problems with unbounded controls / J. Warga // J. Soc. Indust. Appl. Math. Ser. A Control. – 1965. – Vol. 3. – P. 424–438.
20. Zavalishchin S. T. Dynamic impulse systems. Theory and applications / S. T. Zavalishchin, A. N. Sesekin – Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1997.
21. Z. Zhao ea. The Painlev´e paradox studied at a 3D slender rod / Z. Zhao ea. // Multibody Syst. Dyn. – 2008. – Vol. 19. – P. 323–343.