Список выпусков > Серия «Математика». 2017. Том 19
Позиционный принцип минимума для квазиоптимальных процессов в задачах управления с терминальными ограничениями
В серии работ автора были получены нелокальные необходимые условия оптимальности для задач со свободным концом, усиливающие принцип максимума и объединенные одним названием — позиционный принцип минимума. Данная статья направлена на распространение этих условий оптимальности для задач с терминальными ограничениями. Предлагается схема доказательства этого обобщения, основанная на «снятии» ограничений методом модифицированной функции Лагранжа с квадратичным штрафом. Реализация этой схемы требует необходимых условий оптимальности для приближенно оптимальных (квазиоптимальных) процессов в аппроксимирующих задачах оптимального управления. Поэтому в первой части работы позиционный принцип минимума распространяется на квазиоптимальные процессы для задачи со свободным правым концом (усиливая так называемый возмущенный ε-принцип максимума) во второй части этот результат используется для вывода приближенного позиционного принципа минимума в гладкой задаче с терминальными ограничениями. В расширенной трактовке итоговое утверждение совершенно естественно: если в экстремальной задаче ограничения «снимаются» последовательностью ослабленных аппроксимирующих задач со свойством глобальной сходимости, то абсолютный минимум в допустимой точке исходной задачи имеет место тогда и только тогда, когда для всех ε > 0 эта точка ε-оптимальна во всех аппроксимирующих задачах с достаточно большим номером. Применительно к задаче оптимального управления с терминальными ограничениями позиционный ε-принцип служит именно для реализации сформулированного утверждения.
1. Арутюнов А. В. Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи / А. В. Арутюнов. – М. : Факториал, 1997. – 256 с.
2. Бертсекас В. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа : пер. с англ. / В. Бертсекас. – М. : Радио и связь, 1987. – 400 с.
3. Гамкрелидзе Р. В. Основы оптимального управления / Р. В. Гамкрелидзе. – Тбилиси : Изд-во Тбилис. ун-та, 1977. – 231 с.
4. Дмитрук А. В. О доказательстве принципа максимума с помощью игольчатых вариаций / А. В. Дмитрук, Н. П. Осмоловский // Фундам. и прикл. математика. – 2014. – Т. 19, № 5. – С. 49–74.
5. Дыхта В. А. Вариационные условия оптимальности с позиционными управлениями спуска, усиливающие принцип максимума / В. А. Дыхта // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – 2014. – Т. 8. – С. 86–103.
6. Дыхта В. А. Вариационные необходимые условия оптимальности с позиционными управлениями спуска в задачах оптимального управления / В. А. Дыхта // Докл. Акад. наук. – 2015. – Т. 462, № 6. – С. 653–656.
7. Дыхта В. А. Позиционные усиления принципа максимума и достаточные условия оптимальности / В. А. Дыхта // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. – 2015. – Т. 21, № 2. – С. 73-86.
8. Дыхта В. А. Неравенства Гамильтона – Якоби и вариационные условия оптимальности / В. А. Дыхта, О. Н. Самсонюк. – Иркутск : Изд-во ИГУ, 2015. – 150 с.
9. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ / Ф. Кларк. – М. : Наука, 1988. – 280 с.
10. Красовский Н. Н. Позиционные дифференциальные игры / Н. Н. Красовский, А. И. Субботин. – М. : Физматлит, 1974. – 456 с.
11. Мордухович Б. Ш. Методы аппроксимаций в задачах оптимизации и управления / Б. Ш. Мордухович. – М. : Наука, 1988. – 360 с.
12. Плотников В. И. О построении минимизирующих последовательностей / В. И. Плотников, В. И. Сумин // Дифференц. уравнения. – 1983. – Т. 19, № 4. – С. 581–588.
13. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию / Б. Т. Поляк. – М. : Наука, 1983. – 384 с.
14. Clarke F. Necessary condition in dynamic optimization / F. Clarke // Memoirs of the Amer. Math. Soc. – 2005. – Vol. 13, N 816. – 113 p.
15. Clarke F. H. Nonconvex duality in optimal control / F. H. Clarke, C. Nour // SIAM J. Control Optim. – 2005. – Vol. 43. – P. 2036–2048.
16. Ekeland I. Nonconvex minimization problems / I. Ekeland // Bull. Amer. Math. Soc. – 1979. – Vol. 1, N 3. – Pp. 443–474.