В статье исследуется многомерное уравнение нелинейной теплопроводности. Это уравнение представлено в виде переопределенной системы дифференциальных уравнений с частными производными (число уравнений больше числа искомых функций). Как известно, переопределенная система дифференциальных уравнений может быть несовместной, у нее может не существовать ни одного решения. Поэтому для установления факта существования решений и степени их произвола проводится анализ данной переопределенной системы дифференциальных уравнений. В итоге проведенного исследования получены не только достаточные, но и необходимые и достаточные условия совместности переопределенной системы дифференциальных уравнений с частными производными. На основе этих результатов с использованием уравнения Лиувилля и теоремы о необходимом и достаточном условии потенциальности векторного поля излагается подход, позволяющий в ряде случаев конструктивно построить точные неотрицательные решения многомерного уравнения нелинейной теплопроводности с конечной скоростью распространения возмущений. Среди построенных точных решений имеются и такие, которые не являются инвариантными с точки зрения групп точечных преобразований и групп Ли-Беклунда. Особое внимание уделено уравнению со степенным коэффициентом нелинейной теплопроводности. Это уравнение является квазилинейным параболическим уравнением с неявным вырождением. Данное уравнение из параболического дифференциального уравнения второго порядка вырождается в нелинейное эволюционное уравнение первого порядка типа Гамильтона – Якоби.

MSC

35K05

1. Антонцев С. Н. Локализация решений вырождающихся уравнений механики сплошной среды / С. Н. Антонцев. – Новосибирск : Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1986. – 108 c.

2. Беллман Р. Введение в теорию матриц / Р. Беллман. – М. : Наука, 1976.

3. Вайнберг М. М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов / М. М. Вайнберг. – М. : Гостехтеориздат, 1956.

4. Владимиров В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. – М. : Наука, 1971.

5. Квазилинейное уравнение теплопроводности: обострение, локализация, симметрия, точные решения, асимптотика, структуры / В. А. Галактионов, В. А. Дородницын, Г. Г. Еленин, С. П. Курдюмов, А. А. Самарский // Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Итоги науки и техники. – М. : ВИНИТИ АН СССР, 1987. – Т. 28. – С. 95–205.

6. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. – М. : Наука, 1966.

7. Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике / Н. Х. Ибрагимов. – М. : Наука, 1983.

8. Калашников А. С. О возникновении особенностей у решений уравнения нестационарной фильтрации / А. С. Калашников // Журн. вычисл. математики и мат. физики. – 1967. – Т. 7, № 2. – C. 440–443.

9. Калашников А. С. Об уравнениях типа нестационарной фильтрации с бесконечной скоростью распространения возмущений / А. С. Калашников // Вестн. МГУ. Сер. мат. механики. – 1972. – № 6. – С. 45–49.

10. Калашников А. С. Некоторые вопросы качественной теории нелинейныхвырождающихся параболических уравнений второго порядка / А. С. Калашников // Успехи мат. наук. – 1987. – Т. 42, № 2. – С. 135–176.

11. Капцов О. В. Линейные определяющие уравнения для дифференциальныхсвязей / О. В. Капцов // Мат. сб. – 1998. – Т. 189, № 12. – С. 103–118.12. Капцов О. В. Методы интегрирования уравнений с частными производными / О. В. Капцов. – М. : Физматлит, 2009. – 184 c.

13. Мартинсон Л. К. Исследование математической модели переноса нелинейнойтеплопроводности в средах с объемным поглощением / Л. К. Мартинсон //Математическое моделирование. Процессы в нелинейных средах. – М. : Наука,1986. – С. 279–309.

14. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений /Л. В. Овсянников. – М. : Наука, 1978.

15. Олейник О. А. Задача Коши и краевые задачи для уравнений типа нестационарной фильтрации / О. А. Олейник, А. С. Калашников, Чжоу-Юй-Линь //Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1958. – Т. 22, № 5. – С. 667–704.

16. Рождественский Б. Л. Системы квазилинейных уравнений / Б. Л. Рождественский, Н. Н. Яненко. – М. : Наука, 1978.

17. Рудых Г. А. Об одном подходе построения частных точных решений квазилинейного уравнения теплопроводности с N -пространственными переменными /Г. А. Рудых, Э. И. Семенов // Препринт №6 ИрВЦ СО АН СССР. Иркутск. —1991. — 21 c.

18. Рудых Г. А. Построение точных решений многомерного квазилинейного уравнения теплопроводности / Г. А. Рудых, Э. И. Семенов // Журн. вычисл.математики и мат. физики. – 1993. – Т. 33, № 8. – С. 1228–1239.

19. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений / А. А. Самарский, В. А. Галактионов, С. П. Курдюмов, А. П. Михайлов. –М. : Наука, 1987. – 480 c.

20. Сидоров А. Ф. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовойдинамике / А. Ф. Сидоров, В. П. Шапеев, Н. Н. Яненко. — Новосибирск:Наука. — 1984.

21. Хорн Р. Матричный анализ/Р . Хорн, Ч. Джонсон. – М. : Мир, 1989.

22. Шапеев В. П. Метод дифференциальных связей и его приложение к уравнениям механики сплошной среды : диc. . . . д-ра физ.-мат. наук / В. П. Шапеев. –Новосибирск, 1987.

23. Яненко Н. Н. Теория совместности и методы интегрирования систем нелинейных уравнений в частных производных / Н. Н. Яненко // Тр. IV Всесоюз.мат. съезда. Т. 2. – Л. : Наука, 1964. – С. 613–621.

24. Aronson D. G. The porous medium equation / D.G. Aronson // Some problemsin nonlinear diffusion: Lecture Notes in Math. – Springer Verlag, 1986. – N 1224.

25. Aronson D. G. Regularity of flows in porous medium: a survey / D. G. Aronson //Nonlinear Diffusion Equations and Their Equilibrium States. – N. Y. : Springer,1988. – Vol. 1, N 1. – P. 35–49.

26. Berger M. S. Perspectives in nonlinearity / M. S. Berger. – N.-Y. Amsterdam,1968.

27. Kaplan W. Some methods for analysis of the flow in phase space. Proc. of thesymposium on nonlinear circuit analysis / W. Kaplan. – N. Y., 1953. – P. 99–106.

28. Meirmanov A. M. Evolution Equations and Lagrangian Coordinates /A. M. Meirmanov, V. V. Pukhnachov, S. I. Shmarev. – Walter de Gruyter. Berlin,N. Y., 1997.

29. Rudykh G. A. Application of Liouville’s equation to construction of special exactsolutions for the quasilinear heat equation / G. A. Rudykh, E. I. Semenov //IMACS Ann. Comput. and Appl. Math. – 1990. – Vol. 8. – P. 193–196.

30. Steeb W. H. Generalized Liouville equation, entropy and dynamic systemscontaining limit cycles / W. H. Steeb // Physica A. – 1979. – Vol. 95, N 1. –P. 181–190.

31. Vazquez J.L. The Porous Medium Equation: Mathematical Theory. OxfordMathematical Monographs. Clarendon Press, Oxford, 2007.