В прикладных задачах, связанных с исследованием нестационарных тепловых процессов, довольно часто возникает ситуация, когда невозможно осуществить прямые измерения требуемой физической величины и ее характеристики восстанавливаются по результатам косвенных измерений. При этом единственный путь отыскания требуемых значений связан с решением обратной задачи теплопроводности с исходными данными, известными только на части границы. Подобного рода задачи возникают не только при исследовании тепловых процессов, но и при исследовании процессов диффузии, изучении свойств материалов, связанных с тепловыми характеристиками. Статья посвящена численному решению уравнений Вольтерра I рода, полученных в результате применения интегральных преобразований Лапласа для решения уравнения теплопроводности. Работа состоит из введения и трех разделов. В первых двух разделах рассматривается специфика ядер из соответствующих интегральных уравнений. Указаны особенности их вычислений при выполнении операций машинной арифметики над вещественными числами с плавающей точкой. На тестах проиллюстрированы типовые случаи систематического накопления ошибок. В третьем разделе приведены результаты вычислительных алгоритмов, основанных на product integration method и квадратуре средних прямоугольников. Критериями выбора данных методов для решения интегральных уравнений Вольтерра I рода стали простота реализации вычислительной процедуры и возможность получения приближенного решения с погрешностью второго порядка по шагу сетки при точно заданных исходных данных. С целью проверки эффективности разностных методов приведены результаты тестовых расчетов.

1. Yaparova N. M. Numerical methods for solving a boundary value inverse heatconduction problem / N. M. Yaparova // Inverse Problems in Science andEngineering. – 2014. – Vol. 22, N. 5. – P. 832-847.

2. Идентификация математических моделей теплопереноса в разлагающихся материалах / О. М. Алифанов, С. А. Будник, А. В. Ненарокомов, А. В. Нетелев// Тепловые процессы в технике. – 2011. – № 8. – С. 338-347.

3. Модель роста нанокристаллов в аморфном сплаве / П. А.Гамов, А. Д. Дрозин,М. В. Дудоров, В. Е. Рощин // Металлы. – 2012. – № 6. – С. 101-106.

4. Короткий А. И. Реконструкция граничных режимов в обратной задаче тепловой конвекции высоковязкой жидкости / А. И. Короткий, Д. А. Ковтунов //Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. – 2006. – Т. 12, № 2. – С. 88-97.

5. Балабанов П.В. Математическое моделирование теплопереноса в процессе хемосорбции / П. В. Балабанов, С. В. Пономарев, А. В. Трофимов // Вестн.ТГТУ. – 2008. – Т. 14, № 2. – С. 334–341.

6. Beilina L. Approximate Global Convergence and Adaptivity for Coefficient InverseProblems / L. Beilina, M.V. Klibanov. – N. Y. : Springer, 2012.

7. Kabanikhin S. I. Inverse and Ill-Posed Problems. Theory and Applications / S. I.Kabanikhin. – Germany : De Gruyter, 2011.

8. Brunner H. The Numerical Solution of Volterra Equations / H. Brunner, P. J. vander Houwen. – North-Holland, Amsterdam, 1986.

9. Brunner H. Collocation methods for Volterra integral and related functionaldifferential equations / H. Brunner. – N. Y. : Cambridge Univ. Press, 2004.

10. Верлань А. Ф. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы / А.Ф. Верлань, В. С. Сизиков. – Киев : Наук. думка, 1986.

11. Апарцин А. С. Неклассические уравнения Вольтерра I рода: теория и численные методы / А. С. Апарцин. – Новосибирск : Наука, 1999.

12. Solodusha S. V. Numerical solution of the Volterra equations of the first kindthat appear in an inverse boundary-value problem of heat conduction / S. V.Solodusha, N. M. Yaparova // to appear in Numerical Analysis and Applications,http://arxiv.org/abs/1407.1678 (date of access: 01.11.2014).

13. Калиткин Н. Н. Численные методы / Н. Н. Калиткин. – М. : Наука, 1978.

14. Мокрый И. В. Основные механизмы возникновения вычислительной ошибкипри компьютерных расчетах / И. В. Мокрый, О. В. Хамисов, А. С. Цапах // Материалы IV Всерос. конф. «Проблемы оптимизации и экономическиеприложения». – Омск : Наследие, 2009. – С. 185.

15. Linz P. Product integration method for Volterra integral equations of the first kind/ P. Linz // BIT. – 1971. – Vol. 11. – P. 413–421.

16. Geng F. Z. Analytical Approximation to Solutions of Singularly PerturbedBoundary Value Problems / F. Z. Geng, M. G. Cui // Bulletin of the MalaysianMathematical Sciences Society. –2010. – Vol. 33, N 2. – P. 22–232.