Список выпусков > Серия «Математика». 2017. Том 20
О некоторых результатах исследования вырожденных систем интегро-дифференциальных уравнений в школе Ю.Е. Бояринцева
Статья посвящается первому декану математического факультета Иркутского государственного университета Владимиру Владимировичу Васильеву в честь 110-летия со дня рождения. В работе рассматриваются постановки задач, возникшие при разработке теории и численных методов решения дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ), в направлениях, развитых или намеченных в работах Ю. Е. Бояринцева. Решение таких задач потребовало расширения первоначальной тематики. В частности, потребовалось изучать системы интегро-дифференциальных уравнений (ИДУ) и интегральные уравнения Вольтерра, с тождественно вырожденной матрицей в области определения при главном члене. Такие системы интегральных уравнений принято сейчас называть интегро-алгебраическими уравнениями (ИАУ). Полученные результаты дали основу для построения эффективных численных методов решения вырожденных ИДУ, ИАУ и ДАУ. В статье основное внимание уделено изучению общего случая линейных систем интегро-дифференциальных уравнений (ИДУ), с тождественно вырожденной матрицей в области определения перед старшей производной искомой вектор-функции. При определенных условиях изучается возмущение систем ИДУ операторами Фредгольма. Исследуется структура общих решений таких систем. Основными методами исследования является подход, основанный на анализе продолженных систем и свойств матричных многочленов, определенным образом поставленных в соответствие изучаемым ИДУ.
1. Банг Н. Д. О некоторых свойствах вырожденных систем линейных интегро-дифференциальных уравнений. I / Н. Д. Банг, В. Ф. Чистяков, Е. В. Чистякова // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – 2015. – Т. 11. – С. 13–27.
2. Бояринцев Ю. Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю. Е. Бояринцев. – Новосибирск : Наука, 1980.
3. Васильев В. В. К вопросу о решении задачи Коши для одного класса линейных интегро-дифференциальных уравнений / В. В. Васильев // Изв. вузов. Математика. – 1961. – № 4. – С. 8–24.
4. Васильев В. В. Об условиях А.И. Некрасова в теории линейных интегро-дифференциальных уравнений одного класса / В. В. Васильев // Изв. вузов. Матем. – 1963. – № 4. – С. 29-38.
5. Краснов М. Л. Интегральные уравнения: введение в теорию / М. Л. Краснов. – М. : Наука, 1975.
6. Сидоров Н. А. К столетию со дня рождения профессора В. В. Васильева / Н. А. Сидоров // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – 2007. – № 1. – С. 1-3.
7. Фалалеев М. В. Обобщенные решения вырожденных интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах и их приложения / М. В. Фалалеев, С. С. Орлов // Тр. ИММ УрО РАН. – 2012. – Т. 18, № 4. – С. 286–297.
8. Федоров В. Е. Исследование вырожденных эволюционных уравнений с памятью методами теории полугрупп операторов / В. Е. Федоров, Л. В. Борель // Сиб. мат. журн. – 2016. – Т. 57, № 4. – С. 899–912.
9. Чистяков В. Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром / В. Ф. Чистяков. – Новосибирск : Наука. Сиб. издат. фирма РАН, 1996.
10. Чистяков В. Ф. Об одной теореме существования решений у сингулярных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / В. Ф. Чистяков // Числен. методы механики сплошной среды. – 1981. – Т. 12, № 6. – C.135-149.
11. Чистяков В. Ф. О связи свойств вырожденных систем и задач вариационного исчисления : препринт №5 ИрВЦ СО АН СССР / В. Ф. Чистяков. – Иркутск, 1989. – 29 с.
12. Brunner H. Collocation Methods for Volterra Integral and Related Functional Differential Equations / H. Brunner. – N. Y. : Cambridge University Press, 2004.
13. Bulatov M. V. The properties of differential-algebraic systems and their integral analogs : Preprint / M. V. Bulatov, V. F. Chistyakov. – Memorial University of Newfoundland, September, 1997. – 35 p.
14. Bulatov M. V. Application of Matrix Polynomials to the Analysis of Linear Differential-Algebraic Equations / M. V. Bulatov, Ming-Gong Lee // Differential Equations. – 2008. – Vol. 44, N 10. – P. 1353-1360.
15. Chistyakov V. F. On some properties of systems of Volterra integral equations of the fourth kind with kernel of convolution type / V. F. Chistyakov // Math. Notes. – 2006. – Vol. 80, N 1. – P. 109-113.
16. Chistyakova E. V. Regularizing Properties of Difference Schemes for Singular Integral Differential Equations / E. V. Chistyakova // Applied Numerical Mathematics. – 2012. – Vol. 62. – P. 1302–1311.
17. Silverman L. M. Generalizations of theorem of Dolezal / L. M. Silverman, R. S. Bucy // Math. System Theory. – 1970. – N 4. – P. 334–339.