Рассматриваются линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, не разрешенные относительно производной искомой вектор-функции и тождественно вырожденные в области определения. Такие системы называются системами дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ). Мерой неразрешенности ДАУ относительно производных служит целочисленная величина, называемая индексом. Допускается произвольно высокий индекс, не превышающий порядок рассматриваемой системы. Анализ проводится в предположении существования структурной формы с разделенными дифференциальной и алгебраической подсистемами. Эта структурная форма эквивалентна искомой системе в смысле решений, а оператор, преобразующий исходную систему ДАУ к этой структурной форме, обладает левым обратным оператором. Построение структурной формы носит конструктивный характер и не использует замену переменных, при этом автоматически решается проблема согласования начальных условий. Этот подход использует понятие r-продолженной системы, где r - индекс неразрешенности. Необходимым и достаточным условием существования структурной формы является наличие в матрице, описывающей r-продолженную систему неособенного минора порядка n(r + 1), где n - размерность рассматриваемой системы ДАУ. Исследуется наблюдаемость системы ДАУ по заданному скалярному выходу. Задача наблюдаемости состоит в нахождении вектора состояния системы на основании неполных данных о его компонентах, заданных с помощью выходной функции. В качестве класса функций разрешающих операций, т. е. решающих задачу наблюдаемости, кроме кусочно-непрерывных рассматривается класс обобщенных функций Чебышева. Получено достаточное условие R-наблюдаемости (наблюдаемости в пределах множества достижимости) линейных нестационарных систем ДАУ в классе многочленов Чебышева. Для иллюстрации полученных результатов рассмотрен пример.

MSC

34A09, 93B07

DOI

https://doi.org/10.26516/1997-7670.2017.20.61

1. Бернштейн С. Н. Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение непрерывных функций одной вещественной переменной / С. Н. Бернштейн. – М. : Л. : ОНТИ, 1937. – Ч. 1.

2. Бояринцев Ю. Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю. Е. Бояринцев. – Новосибирск : Наука, 1980. – 224 с.

3. Булатов М. В. Об одном численном методе решения дифференциально-алгебраических уравнений / М. В. Булатов, В. Ф. Чистяков //Журн. вычисл. математики и мат. физики. – 2002. – № 42(4). – С. 459–470.

4. Гайшун И. В. Введение в теорию линейных нестационарных систем / И. В. Гайшун. – Минск : Изд-во Ин-та математики НАН Беларуси, 1999.

5. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. – М. : Наука, 1988. – 576 с.

6. Карлин С. Чебышевские системы и их применение в анализе и статистике / С. Карлин, В. Стадден. – М. : Наука, 1976. – 568 с.

7. Красовский Н. Н. Теория управления движением / Н. Н. Красовский. – М. : Наука, 1968. – 476 с.

8. Чистяков В. Ф. О расширении линейных систем, не разрешенных относительно производных / В. Ф. Чистяков. – Иркутск, 1986. – (Препринт / ИрВЦ СО АН СССР № 5).

9. Щеглова А. А. Существование решения начальной задачи для вырожденной линейной гибридной системы с переменными коэффициентами / А. А. Щеглова // Изв. вузов. Математика. – 2010. – № 9. – С. 57–70.

10. Щеглова А. А. R-наблюдаемость и R-управляемость линейных алгебро-дифференциальных систем / А. А. Щеглова, П. С. Петренко // Изв. вузов. Математика. – 2012. – № 3. – С. 73–91.

11. Brenan K. E. Numerical solution of initial-value problems in differential-algebraic equations / K. E. Brenan, S. L. Campbell, L. R. Petzold. – SIAM, 1996.

12. Campbell S. L. Non-BDF methods for the solution of linear time varying implicit differential equations / S. L. Campbell // Proc. Amer. Contr. Conf. San Diego, Calif. 5-6 June, 1984. – Vol. 3. – P. 1315-1318.

13. Campbell S. L. Solvability of general differential algebraic equations / S. L. Campbell, E. Griepentrog // SIAM J. Sci. Stat. Comp. – 1995. – N 16. – P. 257–270.

14. Campbell S. L. Duality, observability, and controllability for linear time-varying descriptor systems / S. L. Campbell, N. K. Nichols, W. J. Terrell // Circ, Syst. and Sign. Process. – 1991. – Vol. 10. – P. 455–470.

15. Dai L. Singular control system / L. Dai // Lecture notes in control and information sciences. – Springer-Verlag. – Vol. 118. – 1989.

16. Ilchmann A. A behavioural approach to linear time-varying systems. II. Descriptor systems / A. Ilchmann, V. Mehrmann // SIAM Journal on Control and Optimization. – 2005. – Vol. 44. – P. 1748–1765.

17. Mehrmann V. Descriptor systems: a general mathematical framework for modelling, simulation and control / V. Mehrmann, T. Stykel // Automatisierungstechnik. – 2006. – Vol. 8. – P. 405–415.

18. Petrenko P. S. Local R-observability of differential-algebraic equations / P. S. Petrenko // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics.;– 2016. – N 9(3). – P. 353–363.

19. Yip E. L. Solvability, controllability and observability of continuous descriptor systemsm / E. L. Yip, R. F. Sincovec // IEEE Trans. Autom. Control. – 1981. – AC-26. – P. 702–707.