Хорошо известно, что множество гомоморфизмов из фиксированной абелевой группы A в фиксированную абелеву группу B образует абелеву группу по сложению, обозначаемую через Hom(A, B). Группы гомоморфизмов абелевых групп обладают многими замечательными свойствами. Так, например, они ведут себя как функторы в категории абелевых групп. В некоторых важных случаях можно выразить инварианты группы Hom(A, B) через инварианты групп A и B. Например, если A — периодическая или если B — алгебраически компактная абелевы группы. Если A = B, то группа Hom(A, B) = End(A, B) называется группой эндоморфизмов группы A, которую можно превратить в кольцо, обозначаемое E(A). Изучение групп гомоморфизмов и колец эндоморфизмов является важной задачей теории абелевых групп. В частности, описание абелевых групп таких, что Hom(A, B) = 0 является одной из открытых проблем в теории абелевых групп. Группа Hom(A, B) = 0 в следующем, например, случае. Пусть абелева группа G разлагается в прямую сумму своих подгрупп A и B, причём A — вполне характеристическая подгруппа в группе G, т. е. A отображается в себя при любом эндоморфизме группы G. Тогда Hom(A, B)=0. Вполне характеристической подгруппой является, например, её периодическая часть. В статье рассматривается условие, эквивалентное равенству нулю группы гомоморфизмов произвольной группы в группу без кручения.

1. Гриншпон С. Я. Проблема 2/С. Я.Гриншпон // Абелевы группы : тр. Всерос. симп., 2225 августа 2005 г. Бийск : РИО БПГУ, 2005. С. 60.

2. Гриншпон С. Я. О равенстве нулю группы гомоморфизмов абелевых групп / С. Я. Гриншпон // Изв. вузов. Математика. - 1998. - №9. - C. 42-46.

3. Schultz P. Annihilator classes of torsion-free abelian groups / P. Schultz // Lect. Notes Math. - 1978. - Vol. 697. - P. 88-94.

4. Dimitric R. On coslender groups / R. Dimitric // Glasnik Matem. - 1986. - Vol.21, №2. - P. 327-329.

5. Крылов П. А. Группа Hom(A, B) как артинов E(B)- или Е(А)-модуль / П. А. Крылов, Е. И. Подберезина // Фундамент. и прикл. математика. - 2007. - Т. 13, вып. 3. - С. 81-96.

6. Мишина А. П. Об автоморфизмах и эндоморфизмах абелевых групп / А. П. Мишина // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. - 1962. - №4. - С. 39-43.

7. Гриншпон С. Я. Гомоморфные образы абелевых групп / С. Я. Гриншпон, Т. А. Ельцова // Фундамент. и прикл. математика. - 2007. - Т. 13, вып. 3. - С. 17-24.

8. Чехлов А. Р. Об абелевых группах, близких к Е-разрешимым / А. Р. Чехлов // Фундамент. и прикл. математика. - 2012. - Т. 17, вып. 8. - С. 183-219.

9. Куликов Л. Я. Обобщенные примарные группы. II / Л. Я. Куликов // Тр. ММО. - 1953. - Т. 2. - С. 85-167.

10. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы / Л. Фукс. - М. : Мир, 1974. - Т. 1. - 336 с.

11. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы / Л. Фукс. - М. : Мир, 1977. - Т. 2. - 415 с.