В статье рассматриваются нелинейные импульсные управляемые си¬стемы с траекториями ограниченной вариации и управлениями типа векторной меры. Для таких систем предложена новая форма описания решений через полунепрерывные сверху многозначные отображения и установлена связь между новым и известными понятиями решения. Доказано, что множество решений импульсной управляемой системы, выходящих из заданной начальной точки, является замыканием множества абсолютно непрерывных решений в смысле сходимости графиков дополненных траекторий в метрике Хаусдорфа. Основное внимание в статье сфокусировано на исследовании свойств сильной и слабой монотонности функций типа Ляпунова относительно импульсной управляемой системы. Предложены определения сильной и слабой монотонности и V-монотонности функций типа Ляпунова. В этих определениях ключевую роль играет переменная V, которая характеризует, с одной стороны, так называемое быстрое время, в котором осуществляются скачки траекторий, а с другой — ресурс импульсного управления. Показано, что такая двойная интерпретация переменной V приводит к появлению двух разных систем понятий монотонности, названных свойствами монотонности и V-монотонности. В работе обсуждается связь соответствующих свойств монотонности и приводятся инфини-тезимальные критерии в форме систем дифференциальных неравенств Гамильтона - Якоби.

1. Aubin J.-P. Differential inclusions / J.-P. Aubin, A. Cellina. - Berlin : Springer-Verlag, 1984. - 342 p.

2. Nonsmooth Analysis and Control Theory / F. H. Clarke, Yu. S. Ledyaev, R. J. Stern, P. R. Wolenski. - N. Y. : Springer-Verlag, Grad. Texts in Math. - 1998. -Vol. 178. - 276 p.

3. Vinter R. B. Optimal Control / R. B. Vinter. - Birkhauser, Boston, 2000.

4. Pereira F. L. Stability for impulsive control systems / F. L. Pereira, G. N. Silva // Dynamical Systems. - 2002. - Vol. 17, N 4. - P. 421-434.

5. Дыхта В. А. Неравенства Гамильтона - Якоби в задачах управления импульсными динамическими системами / В. А. Дыхта, О. Н. Самсонюк // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова РАН. - 2010. - Т. 271. - С. 93-110.

6. Самсонюк О. Н. Условия сильной и слабой монотонности функций типа Ляпунова для нелинейных импульсных управляемых систем / О. Н. Самсонюк // Тез. докл. XI Междунар. Конф. «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (конференция Пятницкого). Москва, ИПУ РАН, 1-4 июня 2010 г. - М. : ИПУ РАН, 2010. - С. 347-349.

7. Samsonyuk O. Lyapunov type functions for nonlinear impulsive control systems: monotonicity conditions and applications / O. Samsonyuk // Book of Abstracts of the 5th International Conference on Physics and Control (PhysCon 2011), September 5-8, 2011. - P. 87.

8. Dykhta V. Some applications of Hamilton-Jacobi inequalities for classical and impulsive optimal control problems / V. Dykhta, O. Samsonyuk // European Journal of Control. - 2011. - Vol. 17. - P. 55-69.

9. Дыхта В. А. Оптимальное импульсное управление с приложениями. / В. А. Дыхта, О. Н. Самсонюк. - 2-е изд. - М. : Физматлит, 2003.

10. Завалищин С. Т. Импульсные процессы: модели и приложения / С. Т. Завалищин, А. Н. Сесекин. - М. : Наука, 1991.

11. Миллер Б. М. Метод разрывной замены времени в задачах оптимального управления импульсными и дискретно-непрерывными системами / Б. М. Миллер // Автоматика и телемеханика. - 1993. - № 12. - С. 3-32.

12. Миллер Б.М. Оптимизация динамических систем с импульсными управлениями / Б.М. Миллер, Е.Я. Рубинович — М.: Наука, 2005.

13. Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления / В. И. Гурман. -2-е изд. перераб. и доп. - М. : Наука, 1997.

14. Принцип расширения в качественной теории управления / В. А. Батурин [и др.]. - Новосибирск : Наука, СО, 1990. - Гл.1. - С. 5-48.

15. Дыхта В. А. Вариационный принцип максимума и квадратичные условия оптимальности импульсных процессов / В. А. Дыхта. — Иркутск : Изд-во ИГЭА, 1995. - 186 с.

16. Миллер Б. М. Условия оптимальности в задаче управления системой, описываемой дифференциальным уравнением с мерой / Б. М. Миллер // Автоматика и телемеханика. - 1982. - № 6. - С. 60-72.

17. Миллер Б. М. Условия оптимальности в задачах обобщенного управления I, II / Б. М. Миллер // Автоматика и телемеханика. - 1992. - № 3. - С. 362-370 № 4. - С. 505-513.

18. Arutyunov A. V. On constrained impulsive control problems / A. V. Arutyunov, D. Yu. Karamzin, F. L. Pereira // J. Math. Sci. - 2010. - Vol. 165, № 6. - P. 654-688.

19. Motta M. Space-time trajectories of nonlinear systems driven by ordinary and impulsive controls / M.Motta, F.Rampazzo // Differential IntegralEquations.- 1995. - Vol. 8. - Pp. 269-288.

20. Silva G. N. Measure differential inclusions / G. N. Silva, R. B. Vinter // J. of Mathematical Analysis and Applications. - 1996. - Vol. 202. - P. 727-746.

21. Miller B. M. The generalized solutions of nonlinear optimization problems with impulse control / B. M. Miller // SIAM J. Control Optim. - 1996. - Vol. 34. - P. 1420-1440.

22. Сесекин А. Н. О множествах разрывных решений нелинейных дифференци¬альных уравнений / А. Н. Сесекин // Изв. вузов. Математика. - 1994. - № 6. - С. 83-89.

23. Сесекин А. Н. Динамические системы с нелинейной импульсной структурой / А. Н. Сесекин // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. - Екатеринбург, 2000. - Т. 6. - C. 497-510.

24. Самсонюк О. Н. Инвариантность множеств относительно нелинейных импульсных управляемых систем / О. Н. Самсонюк // Автоматика и телемеханика. - 2014. (Принята к печати.)

25. Samsonyuk O. N. Strong and weak invariance for nonlinear impulsive control systems / O. N. Samsonyuk // Book of Abstracts of IFAC WC 2011. - 2011. - P. 3480-3485.

26. Самсонюк О. Н. Составные функции типа Ляпунова в задачах управления импульсными динамическими системами / О. Н. Самсонюк // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. - 2010. - Т. 16, N 5. - С. 170—178.

27. Дыхта В. А. Каноническая теория оптимальности импульсных процессов / В. А. Дыхта, О. Н. Самсонюк // Современная математика. Фундам. направления. - 2011. - Т. 42. - С. 118-124.