В работе исследуется разрешимость задачи Дирихле - Коши для уравнения Баренблатта - Гильмана, моделирующего неравновесную противоточную капиллярную пропитку. Особенностью рассматриваемой модели является учет эффекта неравновесности — это становится особенно важно, когда процесс пропитки занимает продолжительное время. Нерегулярный и сложный характер структуры порового пространства не позволяет изучать движение жидкостей и газов в нем обычными методами гидродинамики. Поэтому возникает необходимость в создании и исследовании специальных моделей, описывающих эти процессы. Основное уравнение модели является нелинейным и не разрешимо относительно производной по времени. Это создает значительные трудности при его рассмотрении. Авторы относят уравнение Баренблатта - Гильмана к широкому классу уравнений соболевского типа. Уравнения соболевского типа составляют обширную область неклассических уравнений математической физики. Методы исследования, которые используются в работе, первоначально возникли в теории полулинейных уравнений соболевского типа. В таком контексте уравнение рассматривается впервые. Исходная задача решается путем редукции в подходящих функциональных пространствах к задаче Коши для абстрактного квазилинейного уравнения соболевского типа с s-монотонным и р-коэрцитивным оператором. Для абстрактной и исходной задачи доказаны теоремы существования обобщенных решений.

1. Баренблатт Г. И. Математическая модель неравновесной противоточной капиллярной пропитки / Г. И. Баренблатт, А. А. Гильман // Инженер.-физ. журн. - 1987. - Т. 52, № 3. - C. 456-461.

2. Sviridyuk G. A. Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov. - Utrecht Boston Koln Tokio : VSP, 2003. - 216 p.

3. Showalter R. E. Nonlinear degenerate evolution equations and partial differential equations of mixed type / R. E. Showalter // SIAM J. Math. Anal. - 1975. - Vol. 6, N 1. - P. 25-42.

4. Al'shin A. B. Blow-up in nonlinear Sobolev-type equations / A. B. Al'shin, M. O. Korpusov, A. G. Sveshnikov. - Berlin N.-Y. : Walter de Gruyter, 2011. - 648 p.

5. Загребина С. А. Начально-конечные задачи для неклассических моделей математической физики / С. А. Загребина // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Мат. моделирование и программирование. - 2013. - Т. 6, № 2. - С. 5-24.

6. Замышляева А. А. Стохастические неполные линейные уравнения соболевского типа высокого порядка с аддитивным белым шумом / А. А. Замышляева // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Мат. моделирование и программирование. - 2012. - № 40 (299), вып. 14. - С. 73-82.

7. Сагадеева М. А. Разрешимость нестационарной задачи теории фильтрации / М. А. Сагадеева // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Математическое моделирование и программирование. - 2012. - № 27 (286), вып. 13. - С. 86-98.

8. Кожанов А. И. Линейные обратные задачи для одного класса вырождающихся уравнений соболевского типа / А. И. Кожанов // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Мат. моделирование и программирование. - 2012. - № 5 (264), вып. 11. - С. 33-42.

9. Шестаков А. Л. Оптимальное измерение динамически искаженных сигналов / А. Л. Шестаков, Г. А. Свиридюк // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Мат. моделирование и программирование. - 2011. - № 17 (234), вып. 8. - С. 70-75.

10. Келлер А. В. Алгоритм решения задачи Шоуолтера - Сидорова для моделей леонтьевского типа / А. В. Келлер // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Мат. моделирование и программирование. - 2011. - № 4 (221), вып. 7. - С. 40-46.

11. Свиридюк Г. А. Разрешимость неоднородной задачи для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска / Г. А. Свиридюк, И. Н. Семенова // Дифференц. уравнения. - 1988. - Т. 24, № 9. - С. 1607-1611.

12. Свиридюк Г. А. Одна задача для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска / Г. А. Свиридюк // Изв. вузов. Математика. - 1989. - № 2. - С. 55-61.

13. Манакова Н. А. Задачи оптимального управления для полулинейных уравнений соболевского типа / Н. А. Манакова. - Челябинск : Изд. центр ЮУрГУ, 2012. - 88 c.

14. Манакова Н. А. Численное исследование процессов в модели Баренблатта — Гильмана / Н. А. Манакова, Е. А. Богатырева // Вестн. МаГУ. Математика. - 2013. - Вып. 15. - С. 58-67.