Для моделирования плазмы применяют обычно уравнения Больцмана, Власова и другие аналогичные уравнения и системы уравнений с частными производными. Для них требуется отыскивать решения, удовлетворяющие заданным начальным и краевым условиям, что представляет собой весьма трудноразрешимую задачу. Поэтому обычно проводят редукцию к более простой задаче, описываемой, например, обыкновенными дифференциальными уравнениями. На этом пути группой французских математиков была предложена модель магнитной изоляции электронов в плоском вакуумном диоде, описываемая системой двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Для этой модели ее разработчики рассматривали задачу нахождения всех ее точных решений, т. е. полного интегрирования. В данной статье мы рассматриваем класс систем эллиптического типа с многомерным оператором Лапласа, включающий обобщение модели вакуумного диода, изучавшейся французскими математиками. Такого рода системы встречаются также в моделях химической технологии, математической биологии и других прикладных областях. Установлено, что решениями рассматриваемого класса систем двух нелинейных уравнений эллиптического типа могут быть только решения линейного уравнения Гельмгольца. Показано, что свойства решений уравнения Гельмгольца могут наследоваться решениями изучаемой нелинейной системы. Предложен способ конструирования радиально симметричных точных решений. Рассмотрен целый ряд примеров систем с управлением, для которых найдены параметрические семейства точных решений, в том числе анизотропных по пространственным переменным, заданных элементарными или гармоническими функциями. В том числе указаны примеры глобальных решений, которые определены на всем пространстве. Полученные в статье явные выражения точных решений могут иметь не только теоретическое, но и прикладное значение, поскольку их можно использовать для тестирования, настройки и адаптации численных методов и алгоритмов построения приближенных решений краевых задач для обобщенной модели магнитной изоляции.

1. Вязьмина Е. А. Новые классы точных решений нелинейных диффузионно-кинетических уравнений и систем общего вида / Е. А. Вязьмина, А. Д. Полянин // Теор. основы хим. технологии. – 2006. – Т. 40, № 6. – С. 1–10.

2. Дривотин О. И. Решения уравнения Власова для пучка заряженных частиц в магнитном поле / О. И. Дривотин, Д. А. Овсянников // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – 2013. – Т. 6. № 4. – С. 2–22.

3. Ибрагимов Н. Х. Принцип априорного использования симметрий в теории нелинейных волн / Н. Х. Ибрагимов, О. В. Руденко // Акуст. журн. – 2004. – Т. 50, № 4. – С. 1–15.

4. Косов А. А. Интегрируемость модели магнитной изоляции и ее точные радиально-симметричные решения / А. А. Косов, Э. И. Семенов, А. В. Синицын // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – 2013. – Т. 6, № 1. – С. 45–56.

5. Косов А. А. О построении первых интегралов для одного класса нелинейных систем / А. А. Косов, А. В. Синицын // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер.Математика. – 2012. – Т. 5, № 1. – С. 57–69.

6. Полянин А. Д. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения / А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев // М. : Физматлит, 2002. – 432 с.

7. Пухначев В. В. Точные решения уравнений движения несжимаемой вязко-упругой среды Максвелла/ В. В. Пухначев // ПМТФ. – 2009. – Т. 50, № 2. – С. 16–23.

8. Семенов Э. И. Математическая модель магнитной изоляции вакуумного диода и ее точные решения / Э. И. Семенов, А. В. Синицын // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – 2010. – № 1. – C. 78–91.

9. Сидоров Н. А. О разветвляющихся решениях нелинейных дифференциальных уравнений n-го порядка / Н. А. Сидоров, Д. Н. Сидоров // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – 2010. – Т. 3, № 1. – С. 92–103.

10. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. – М. : Наука, 1977. – 735 с.

11. URL: http://eqworld.ipmnet.ru/ru/solutions/syspde/spde-toc3.htm.

12. Ben Abdallah N. Mathematical model of magnetic insulation / N. Ben Abdallah. P. Degond, F. Mehats // Physics of plasmas. – 1998. – Vol. 5. – P. 1522–1534.

13. Lyapunov – Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn and M. Falaleev. – Kluwer Academic Publishers, 2002.

14. Vedenypin V. Kinetic Boltzmann – Vlasov and related equations / V. Vedenypin, A. Sinitsyn, E. Dulov. – Amsterdam : Elsevier, 2011.