Рассматривается метод регуляризации линейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода. В основе метода лежит теория возмущений. При получении оценок приближенных решений и нормы регуляризирующего оператора используются теорема Банаха – Штейнгауза, понятие стабилизирующего оператора, а также предложенная в монографии Н. А. Сидорова (1982, MR87a:58036) абстрактная схема построения регуляризирующих уравнений. Усилен результат А. М. Денисова (1974, MR337040) о регуляризации уравнения Вольтерра, сняты такие ограничения, как предположение точного задания ядра, существование вторых производных ядра по t и свободной функции. Тестирование соответствующего приближенного метода проведено на примере численного решения интегральных уравнений при различных уровнях аддитивного шума в свободной функции и ядре уравнения. Рассмотрен класс линейных уравнений Вольтерра первого рода, когда ядро допускает разрывы первого рода на определенных кривых. Этот класс уравнений был введен в работе Д. Н. Сидорова (2013, MR3187864). При построении численного решения таких уравнений решение можно искать в виде кусочно-постоянной и кусочно-линейной функции, используя квадратурные формулы средних прямоугольников и Гаусса. Проведенные расчеты демонстрируют эффективность применения регуляризации Лаврентьева при численном решении линейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода с разрывными ядрами.

1. Денисов А. М. О приближенном решении уравнения Вольтерра I рода / А. М. Денисов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. – 1975. – Т. 15, № 4. – C. 1053–1056.

2. Лаврентьев М. М. Теория операторов и некорректные задачи / М. М. Лаврентьев, Л. Я. Савельев. – Новосибирск : Наука, 1990.

3. Люстерник Л. А. Элементы функционального анализа / Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. – М. : Физматлит, 1965.

4. Сидоров Д. Н. Методы анализа интегральных динамических моделей: теория и приложения / Д. Н. Сидоров. – Иркутск : Изд-во ИГУ, 2013. – 293 c.

5. Сидоров Д. Н. О разрешимости систем интегральных уравнений Вольтерра первого рода с кусочно-непрерывными ядрами / Д. Н. Сидоров // Изв. вузов. Математика. – 2013. – № 1. – C. 62–72.

6. Сидоров Д. Н. Численное решение интегральных уравнений Вольтерра I рода с кусочно-непрерывными ядрами / Д. Н. Сидоров, А. Н. Тында, И. Р. Муфтахов // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Мат. моделирование и программирование. – 2014.– Т. 7, № 3. – C. 107—115.

7. Сидоров Н. А. Регуляризация линейных уравнений на основе теории возмущений / Н. А. Сидоров, В. А. Треногин // Дифференц. уравнения. – 1980. – Т. 16, № 11. – С. 2038–2049.

8. Сидоров Н. А. Об одном подходе к проблеме регуляризации на основе возмущения линейных операторов / Н. А. Сидоров, В. А. Треногин // Мат. заметки. – 1976. – Т. 40, № 5. – С. 747–752.

9. Сидоров Н. А. О роли метода возмущений и теоремы Банаха – Штейнгауза в вопросах регуляризации уравнений первого рода / Н. А. Сидоров, Д. Н. Сидоров, И. Р. Муфтахов // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – 2015. – Т. 14. – С. 82–99.

10. Тихонов А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. – М. : Наука, 1974.

11. Тихонов А.Н. Некорректно поставленные задачи / А. Н. Тихонов, В. К. Иванов, М. М. Лаврентьев // Дифференциальные уравнения с частными производными. – М. : Наука, 1970. – С. 224–239.

12. Треногин В.А. Функциональный анализ / В. А. Треногин. – М. : Наука, 1980. – 496 с.

13. Тында А. Н. Прямые численные методы решения интегральных уравнений Вольтерра I рода с разрывными ядрами / А. Н. Тында, Е. Н. Малякина // Сб. ст. VIII Междунар. науч.-техн. конф. молодых специалистов, аспирантов и студентов. – Пенза : ПГУ, 2014. – С. 84—89.

14. Тында А. Н. Численный анализ интегральных уравнений Вольтерра I рода с разрывными ядрами / А. Н. Тында, П. А. Богинская // Сб. ст. VIII Междунар. науч.-тех. конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов. – Пенза : ПГУ, 2014. – С. 76–81.

15. Brunner H. The Numerical Solution of Volterra Equations / H. Brunner, P. J. van der Houwen. – Amsterdam : North-Holland, 1986.

16. Kythe P. K. Computational Methods for Linear Integral Equations / P. K. Kythe, P. Puri. – Boston Birkh¨auser, 2002.

17. Sidorov D. Integral Dynamical Integral Dynamical Models: Singularities, Signals and Control / D. Sidorov ed. by L. O. Chua. –Singapore, London : World Scientific Publ., 2015. – Vol. 87 of World Scientific Series on Nonlinear Science, Series A. – 258 p.

18. Sizikov V. S. Further Development of the New Version of a Posteriori Choosing Regularization Parameter in Ill-Posed Problems. / V. S. Sizikov // Intl. J. of Artificial Intelligence. – 2015. – Vol. 13, N 1. – P. 184–199.