В статье рассматриваются подгруппы групп Шевалле, определяемые коврами – наборами аддитивных подгрупп основного кольца определения. Такие подгруппы называются ковровыми и они порождаются корневыми элементами с коэффициентами из соответствующих аддитивных подгрупп. По определению ковер замкнутый, если определяемая им ковровая подгруппа не содержит новых корневых элементов. Одним из принципиально важных вопросов при изучении ковровых подгрупп является вопрос о замкнутости исходного ковра. Известно, что этот вопрос редуцируется к неприводимым коврам, т. е. к коврам, все аддитивные подгруппы которых ненулевые [8; 11].

В данной работе описываются неприводимые ковры типа G₂ над полем K характеристики p > 0, все аддитивные подгруппы которых являются R-модулями, в том случае, когда K – алгебраическое расширение поля R. Доказано, что такие ковры являются замкнутыми и могут параметризоваться двумя различными полями только при p = 3, а для других p они определяются одним полем и в этом случае соответствующие им ковровые подгруппы с точностью до сопряжения диагональным элементом совпадают с группами Шевалле типа G₂ над промежуточными подполями P, R ⊆ P ⊆ K.

Франчук (Куклина) Светлана Константиновна, аспирант, Институт математики и фундаментальной информатики, Сибирский федеральный университет, 660041, Российская Федерация, г. Красноярск, пр. Свободный, 79, корп. 3, e-mail: svetlya4ok-03@mail.ru

Франчук С.К. О неприводимых коврах аддитивных подгрупп типа G2 // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2019. Т. 27. С. 80-86. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2019.27.80

1. Дряева Р. Ю., Койбаев В. А., Нужин Я. Н. Полные и элементарные сети над полем частных кольца главных идеалов // Зап. науч. сем. ПОМИ. 2017. Т. 455. С. 42-51.
2. Койбаев В. А. Элементарные сети в линейных группах // Тр. ИММ УрО РАН, 2011. Т. 17, № 4. C. 134–141.
3. Подгруппы групп Шевалле над локально конечным полем, определяемые набором аддитивных подгрупп / В. А. Койбаев, С. К. Куклина, А. О. Лихачева, Я. Н. Нужин // Мат. заметки. 2017. Т. 102. С. 857-865. https://doi.org/10.4213/mzm11038
4. Койбаев В. А., Нужин Я. Н. Подгруппы групп Шевалле и кольца Ли, определяемые набором аддитивных подгрупп основного кольца // Фундам. и приклад. математика, 2013. Т. 18, № 1. С. 75-84.
5. Койбаев В. А., Нужин Я. Н. k-инвариантные сети над алгебраическим расширением поля k // Сиб. мат. журн. 2017. T. 58, № 1. C. 143–147. https://doi.org/10.17377/smzh.2017.58.114
6. Куклина (Франчук) С. К. О неприводимых коврах аддитивных подгрупп типа G₂ // Международная алгебраическая конференция, посвященная 110-летию со дня рождения профессора А. Г. Куроша : тез. докл. М. : Изд-во МГУ, 2018. С. 247-248.
7. Куклина С. К., Лихачева А. О., Нужин Я. Н. О замкнутости ковров лиева типа над коммутативными кольцами // Тр. ИММ УрО РАН. 2015. Т. 21, № 3. C. 192–196.
8. Левчук В. М. О порождающих множествах корневых элементов групп Шевалле над полем // Алгебра и логика. 1983. Т. 22. № 5. С. 504-517.
9. Левчук В. М. Параболические подгруппы некоторых АВА-групп // Мат. заметки. 1982. Т. 31, № 4. C. 509-525.
10. Нужин Я. Н. О подгруппах групп Шевалле типа B_l, C_l, F₄ и G₂, параметризуемых двумя несовершенными полями характеристики 2 и 3 // Математика в соврем. мире. 2017. С. 90.
11. Нужин Я. Н. Разложение Леви для ковровых подгрупп групп Шевалле над полем // Алгебра и логика, 2016. Т. 55. № 5. С. 558-570. https://doi.org/10.17377/alglog.2016.55.503
12. Нужин Я. Н. Факторизация ковровых подгрупп групп Шевалле над коммутативными кольцами // Журн. Сиб. федер. ун-та. 2011. Т. 4. № 4. С. 527-535.
13. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. М. : Мир, 1975.
14. Carter R.W. Simple groups of Lie type // Pure Appl. Math. 1972. N 28.