Теория линейных разностных уравнений применяется в различных областях математики и в одномерном случае имеет вполне завершенный вид. Для n > 1 ситуация значительно сложнее и даже для постоянных коэффициентов общего описания пространства решений разностного уравнения нет.

В комбинаторном анализе разностные уравнения в сочетании с методом производящих функций дают мощный аппарат исследования перечислительных задач. Другой источник появления разностных уравнений – дискретизация дифференциальных уравнений. Так, дискретизация уравнения Коши – Римана привела к созданию теории дискретных аналитических функций, которая нашла применение в теории римановых поверхностей и комбинаторном анализе. Методы дискретизации дифференциальной задачи являются важной составной частью теории разностных схем и также приводят к разностным уравнениям. Вопрос о существовании и единственности решения относится к числу основных в теории разностных схем.

Другим важнейшим вопросом является вопрос об устойчивости разностного уравнения. Для n = 1 и постоянных коэффициентов устойчивость исследуется в рамках теории дискретных динамических систем и полностью определяется корнями характеристического многочлена, а именно: все они лежат в единичном круге.

В данной работе приведены два просто проверяемых достаточных условия на коэффициенты разностного оператора, обеспечивающие корректность задачи Коши.

Апанович Марина Степановна, канд. физ.-мат. наук, Красноярский государственный медицинский университет им. профессора В. Ф. Войно-Ясенецкого Минздрава России, Российская Федерация, 660022, г. Красноярск, ул. Партизана Железняка, 1, e-mail: rogozina.marina@mail.ru

Лейнартас Евгений Константинович, д-р физ.-мат. наук, проф., Институт математики и фундаментальной информатики, Сибирский федеральный университет, Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79, e-mail: lein@mail.ru

Apanovich M.S., Leinartas E.K. On Correctness of Cauchy problem for a Polynomial Difference Operator with Constant Coefficients // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2018. Т. 26. С. 3-15. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2018.26.3

1. Даджион Д. Цифровая обработка многомерных сигналов. М. : Мир, 1988. 488 с.
2. Лейнартас Е. K. Кратные ряды Лорана и фундаментальные решения линейных разностных уравнений // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, № 2. С. 335–341.
3. Лейнартас Е. К., Ляпин А. П. О рациональности многомерных возвратных степенных рядов // Журн. Сиб. федер. ун-та. 2009. Т. 2, № 4. С. 449–455.
4. Лейнартас Е. К. Устойчивость задачи Коши для многомерного разностного оператора и амеба характеристического множества // Сиб. мат. журн. 2011. Т. 50, № 5. С. 387–393.
5. Лейнартас Е. К., Рогозина М. С. Разрешимость задачи Коши для полиномиального разностного оператора и мономиальные базисы факторов в кольце полиномов // Сиб. мат. журн. 2015. Т. 56, № 1. С. 111–121.
6. Некрасова Т. И. Об иерархии производящих функций решений многомерных разностных уравнений // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2014. Т. 9. С. 91–102.
7. Рогозина М. С. О разрешимости задачи Коши для полиномиального разностного оператора // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2014. Т. 14, № 3. С. 83–94.
8. Рябенький В. С., Филиппов А. Ф. Об устойчивости разностных уравнений. М. : Гос. изд-во техн.-теорет. лит., 1956. 174 с.
9. Самарский А. А. Теория разностных схем. М. : Наука, 1977. 656 с.
10. Федорюк М. В. Асимптотика: интегралы и ряды. М. : Наука, 1987. 546 с.
11. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М. : Мир, 1965. 379 с.
12. Хермандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. М. : Мир, 1968. 280 с.
13. Цих А. К. Условия абсолютной сходимости ряда из коэффициентов Тейлора мероморфных функций двух переменных // Мат. сб. 1991. Т. 182, № 11. С. 1588–1612.
14. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Функции одного переменного. М. : Ленанд, 2015. 336 с.
15. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Функции нескольких переменных. М. : Ленанд, 2015. 464 с.
16. Ahlberg J. H., Nilson E. N. Convergence properties of the spline fit // J. SIAM. 1963. Vol. 11, N 1. P. 95–104. https://doi.org/10.1137/0111007
17. Apanovich M. S., Leinartas E. K. Correctness of a Two-dimensional Cauchy Problem for a Polynomial Difference Operator with Constant Coefficients // Journal of Siberian  Federal   University.  Mathematics  &   Physics.  2017.  Vol. 10,   N 2. P. 199–205. https://doi.org/10.17516/1997-1397-2017-10-2-199-205
18. Bousquet-Melou M., Petkovˇsek M. Linear recurrences with constant coefficients: the multivariate case // Discrete Mathematics. 2000. Vol. 225. P. 51–75. https://doi.org/10.1016/S0012-365X(00)00147-3
19. Taussky O. A recurring theorem on determinants // The American Mathematical Monthly. 1949. Vol. 56, N 10. P. 672–676. https://doi.org/10.1080/00029890.1949.11990209