Список выпусков > Серия «Математика». 2018. Том 24
Об аналитических решениях задачи о движении теплового фронта для нелинейного уравнения теплопроводности с источником
В настоящей работе авторы продолжают исследования специальных краевых задач для нелинейного параболического уравнения теплопроводности (в англоязычной литературе - «the porous medium equation»). В случае степенной зависимости коэффициента теплопроводности от температуры указанное уравнение используется при описании процессов лучистой теплопроводности, фильтрации политропного газа в пористом грунте, миграции биологических популяций и т. д. Кроме того, уравнение обладает специфическими нелинейными свойствами, интересными как с физической, так и с математической точек зрения. Известно, например, что скорость распространения возмущений, им описываемых, может быть конечной. Один из содержательных классов решений уравнения составляют тепловые волны (волны фильтрации). Геометрически такие решения представляют собой две интегральные поверхности, непрерывно состыкованные вдоль некоторой кривой, называемой фронтом тепловой волны. В предлагаемой статье рассматривается краевая задача, имеющая такого рода решения. Исследование проводится в классе аналитических функций с помощью метода характеристических рядов, предложенного Р. Курантом и адаптированного для нелинейных параболических уравнений в научной школе А.Ф. Сидорова. Ранее авторы уже исследовали похожие задачи в случае замкнутого фронта волны при отсутствии источника. Для каждой из рассмотренных задач были построены решения в виде характеристических рядов, а также доказаны соответствующие теоремы существования, гарантирующие сходимость. В настоящей работе исследуется плоскосимметричная задача с заданным фронтом при наличии источника. Доказана теорема существования аналитического решения (возмущенной составляющей тепловой волны), указанное решение построено в виде степенного ряда. Рассмотрен содержательный частный случай, в котором источник задается степенной функцией (подобный способ задания часто встречается в приложениях). Показано, что в этом случае исходную задачу можно свести к задаче Коши для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка.
Об авторах
Казаков Александр Леонидович, д-р физ.-мат. наук, проф., главный научный сотрудник, Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН, Российская Федерация, 664033, Иркутск, ул. Лермонтова, 134, e-mail: kazakov@icc.ru
Кузнецов Павел Александрович, канд. физ.-мат. наук, научный сотрудник, Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН, Российская Федерация, 664033, Иркутск, ул. Лермонтова, 134, e-mail: pav_ku@mail.ru
1. Зельдович Я. Б., Райзер Ю. П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М. : Физматлит, 1966. 687 с.
2. Казаков А. Л., Кузнецов П. А. Об одной краевой задаче для нелинейного уравнения теплопроводности в случае двух пространственных переменных // Сиб. журн. индустр. математики. 2014. Т. 17, № 1. С. 46–54.
3. Казаков А. Л., Кузнецов П. А., Лемперт А. А. О построении тепловой волны для нелинейного уравнения теплопроводности в симметричном случае // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2015. Т. 11. С. 39–53.
4. Казаков А. Л., Кузнецов П. А., Спевак Л. Ф. Об одной краевой задаче с вырождением для нелинейного уравнения теплопроводности в сферических координатах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20, № 1. С. 119–129.
5. Казаков А. Л., Лемперт А. А. Аналитическое и численное исследование одной краевой задачи нелинейной фильтрации с вырождением // Вычисл. технологии. 2012. Т. 17, № 1. С. 57–68.
6. Казаков А. Л., Лемперт А. А. О существовании и единственности решения краевой задачи для параболического уравнения нестационарной фильтрации // Прикл. механика и техн. физика. 2013. Т. 54,№ 2. С. 97–105.
7. Казаков А. Л., Спевак Л. Ф. Методы граничных элементов и степенных рядов в одномерных задачах нелинейной фильтрации // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2012. Т. 5, № 2. С. 2–17.
8. Ковалев В. А., Куркина Е. С., Куретова Е. Д. К самофокусировке тепла во время солнечных вспышек // Физика плазмы. 2017. Т. 43, № 5. С. 485–490. https://doi.org/10.7868/S0367292117050067
9. Кудряшов Н. А., Чмыхов М. А. Приближенные решения одномерных задач нелинейной теплопроводности при заданном потоке // Журн. вычисл. математики и мат. Физики. 2007. Т. 47, № 1. С. 110–120.
10. Куpант Р. Уравнения с частными производными. М. : Миp, 1964. 830 с.
11. Рудых Г. А., Семенов Э. И. Построение точных решений одномерного уравнения нелинейной диффузии методом линейных инвариантных подпространств // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2013. Т. 6, № 4. С. 69–84.
12. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений / А. А. Самарский, В. А. Галактионов, С. П. Курдюмов, А. П. Михайлов. М. : Наука, 1987. 480 с.
13. Сидоров А. Ф. Избранные труды: Математика. Механика.М. : Физматлит, 2001. 576 с.
14. Dahlberg B. E., Kenig C. E. Weak Solutions of the Porous Medium Equation in a Cylinder // Trans. Amer. Math. Soc. 1993. Vol. 336, N 2. P. 701–709. https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1993-1085940-6
15. Filimonov M. Yu., Korzunin L. G., Sidorov A. F. Approximate methods for solving nonlinear initial boundary-value problems based on special construction of series // Rus. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1993. Vol. 8, N 2. P. 101-125.https://doi.org/10.1515/rnam.1993.8.2.101
16. Murray J. Mathematical Biology: I. An Introduction, Third Edition. Interdisciplinary Applied Mathematics. Vol. 17. New York : Springer, 2002. 551 p.
17. Vazquez J. L. The Porous Medium Equation: Mathematical Theory. Oxford : Clarendon Press, 2007. 648 p.